¿Estable? ¿Inestable? ¿Cómo lo sabe PSPICE?

Bien, hasta ahora hemos calculado que pasaría en el transitorio y hemos estimado que pasaría en este tiempo. Hemos visto que los planteamientos que se siguien no tienen mucho parecido entre ellos, sobre todo al conseguir la función de red. Incluso hemos tratado la estabilidad de los circuitos.

También hemos comprobado que PSPICE hace perfectamente la función de mostrarnos que pasa en ese periodo de tiempo y presenta una gráfica con todo detalle de este fenómeno. Con las siguientes líneas de código:

Vg 1 0 pwl(0 1 5 1 5.0001 0 10 0)

R1 1 2 0.5

L1 2 3 0.1 ic=0

C1 3 0 0.1 ic=0

.tran 0.1 10 0 0.001 uic

.probe

.end

La excitación es una señal cuadrada y es sometida a un circuito con una resistencia y una bobina en serie y un condensador.

¿Cómo lo hace PSPICE para analizar esto si solo es capaz de analizar circuitos resistivos?
PSPICE no sabe hacer funciones de red ni ningún cálculo complejo, pero sí puede hacer una aproxímación, bastante fiable a la realidad mediante una ecuaciones obtenidas analíticamente, en las cuales solo tiene que sustituir por los valores del circuito y calcular.

La ecuación se basa en el principio del análisis nodal dando una ecuación diferencial que resuelve mediante derivadas en límites (sí, eso que a nadie le gusta calcular). Con valores iniciales y alta frecuencia de cálculo consigue obtener esta aproximación con un error muy pequeño.

PSPICE nos ha servido mucho a lo largo del curso con análisis en régimen permanente y parece que ahora también nos puede ayudar con esta última etapa, al final resultará ser un gran programa.

La transformada de Laplace en el transitorio senoidal

Continuamos con el planteamiento de la sesión anterior, usar la transformada de Laplace para ver como actúan los circuitos durante el transitorio.

Ya vimos que según que ceros tenía la función de red, se daba un efecto u otro (está detallado en la entrada anterior). Hasta ahora, hemos tratado este tema planteando ecuaciones diferenciales sobre el análisis nodal. Pero... ¿No sería mucho más sencillo obtener la transformada directamente del circuit?
Pues bien, eso es posible y, realmente, simplifica mucho las cosas.

¿Recordáis, la muy utilizada, H(s) en el estudio en régimen permanente? Podríamos decir que esta H(s) es la transformada del circuito. La función de red contiene mucha información escondida.

Si bien no le daremos el mismo uso. Ahora, una vez obtenida, tendremos que anti-trasformar para obtener la respuesta propia y la respuesta forzada del circuito y hacer predicciones (en la entrada anterior os deje una tabla de transformadas de Laplace, ahora tan solo hay que aplicarlas a la inversa).

La respuesta propia es la que obtenemos por los ceros de nuestra función de red, ya sea en forma de exponenciales, senoides, etc... En cambio, la respuesta forzada del circuito es la que viene dada por la excitación, al buscar Vo = H(s)·Vg. Estas respuestas propias suelen estabilizarse dando lugar al régimen permanente, con la respuesta forzada.

Pero nuestro estudio no termina aquí, ahora que ya sabemos analizar los circuitos, vamos a ver cualitativamente que pasa en los transitorios y cuánto tiempo duran:
Bien, para saber cualitativamente que es lo que sucede en un transitorio, tenemos que observar el denominador de nuestra función de red y estipular cual es el comportamiento que va a tener. Por ejemplo, un denomenador del tipo:

Tendrá una respuesta propia de forma exponencial decreciente, como ya dijimos. Vemos que sin necesidad de realizar la anti-transformada sabemos que forma tendrá.

Pero, si queremos saber cuánto tiempo va a durar este fenómeno debemos realizar la anti-transformada y observar el número que multiplica a t en el exponencial (si se trata de una exponencial). Ese número que multiplica a t, es el inverso de τ una variable en unidades de tiempo. De la práctica obtenemos que al tiempo 5τ ya podemos considerar que la respuesta propia es despreciable por lo que podemos dar el transitorio por terminado.

Fuera del régimen permanente senusoidal

Hasta ahora, siempre hemos trabajado en el régimen permanente sinusoidal, una vez todo el circuito se ha estabilizado unos segundos después de conectarlo a la excitación. Pero... ¿Cómo sabemos su respuesta fuera del RPS, lo que se llama el Régimen Transitorio?

La respuesta no es simple, pero intentaremos plantearla poco a poco para completar el estudio de los circuitos.

El cuatrimestre pasado en Cálculo estudiamos la Transformada de Laplace. Esta se basa en transformar una ecuación diferencial en un polinomio más fácil de manipular. Para ver un ejemplo podemos recurrir a un pequeño ejemplo de circuito en el cual se puede aplicar de manera sencilla:

Aplicando análisi nodal en Vo, llegamos a la siguiente ecuación:

Obtenemos una ecuación diferencial que puede costarnos más o menos resolver, pero para eso tenemos Laplace. Vamos a resolver por Laplace.

Primero arreglamos la ecuación y, después, sustituiremos por su transformada de Laplace y operaremos con ello del siguiente modo:

Hacemos la transformada de la ecuación diferencial:

 Y la resolvemos:

Una vez aquí, podemos observar que tiene una forma que nos recuerda al de la función de red. Finalmente, el último paso será antitransformar la función para obtener el resultado. Tanto para transformar como para anti-transformar tenemos unas tablas de Laplace:

Su anti-transformada nos da la ecuación (en función del tiempo) por la cual se rige el circuito, en este caso:

De este modo, podemos ver qué sucede desde que lo conectamos a la excitación, y preveer cuando llegará al régimen permanente de manera que se pueda aplicar lo que hemos estudiado hasta ahora.

Destacar varias cosas sobre las raíces de los elementos de las transformadas. En este caso tenemos tan solo una raíz en 0, en el ejemplo, pero se puede dar el caso de tener más de una y estas pueden darnos mucha información de como va a interactuar.

Si la raíz es compleja conjugada, obtendremos una senoide, y esta puede crecer o decrecer según el signo del exponente de la 'e' que lo acompañe. Por ejemplo:

En este caso obtenemos una senoide decreciente. En cambio, si el exponente de 'e' fuera positivo, sería creciente.

También podemos tener que la raíz sea imaginaria, donde solo obtendremos una senoide.

Y, finalmente, el caso de números reales, de los cuales obtendremos una exponencial, como en nuestro primer ejemplo, que obtenemos una función creciente que se estabiliza en Vc.

Hemos aprendido a hacer algunos cálculos fuera del régimen permanente, pero el profesor nos ha prometido que el próximo día veremos todo esto directamente del circuito, no sé cómo lo hará, pero ya estoy deseando saberlo. Hasta la siguiente sesión.

Espectros, funciones de red y diseño no lineal

Durante la última clase hablamos pero no añadí en el blog los espectros, tranquilos, hoy hablaremos de ellos.

Pensaréis: ¿Qué son los espectros? ¿Eso no son fantasmas? Bien, en parte, tenéis razón. Los espectros es cualquier cosa oculta, ¿no os recuerda eso la conversión en senos y cosenos, por Fourier, de una señal cuadrada? Sí, es eso. Todas las señales que se encuentran ocultas en la señal cuadrada las podemos representar mediante pequeñas lineas en cada frecuencia, marcando la amplitud de la senoide en una gráfica.

Como vemos en la imagen, tenemos el valor medio, el armónico fundamental y el resto de senoides en la gráfica, exactamente nuestro desarrollo de Fourier, que como podemos observar es convergente.

Por otro lado, también vemos que podemos hacerlo de manera similar con los argumentos, los cuales también cuentan con espectro.

Ahora tenemos todas las senoides que conforman una señal cuadrada, pero... ¿De qué nos sirve? Pues de mucho, aunque no lo creáis. Podemos combinar estos espectros con trazados de Bode para obtener a la salida exactamente lo que queremos o observar como afecta un circuito determinado a la señal.

¿Qué pasa si queremos una señal senoidal de una frecuencia determinada a la salida y a la entrada solo tenemos una señal cuadrada de esa misma frecuencia? Podemos aplicar esto para obtener exactamente lo que deseamos con un circuito con un pico en la frecuencia deseada, por ejemplo uno con un denominador de segundo orden, y con poco ancho de banda. Apuntemos como buen sistema de diseño.

Ahora que comprendemos este principio, podemos usarlo para aplicarlo a una función concreta, pese a irse al mundo no lineal, tema que no nos ocupa.

Se puede construir un convertidor AC-DC, alterna a continua. El circuito usa un diodo para dejar todo la senoide en los positivos y después aplica un filtro paso bajo con frecuencia de corte muy inferior a la de la senoide de entrada. Entre ambos, un seguidor de tensión, para asegurar que no se afectan entre ellos. Con lo que según fourier, obtendríamos solo el valor continuo.

Si además, tenemos en cuenta cuanto se reduce la señal continua con Fourier, podemos conectar un amplificador operacional para amplificar lo que se haya reducido y obtener el valor medio, en continua, de la señal de entrada en la salida. (Recordemos que la amplificación es 1+R4/R3)

Los circuitos y Fourier

Hasta ahora, casi siempre hemos trabajado con excitaciones senoidales, lo que nos hace plantearnos: ¿Si tenemos una excitación que no sea senoidal, no podemos usar nada de lo que hemos parendido hasta ahora?

Pues la verdad es que en parte no. Pero tenemos un método para pasar una función cuadrada a senoidal y con senoidales sabemos trabajar, así que trabajar con unas o con otras nos es indiferente.

Ahora la cuestión es sabe cual es este método que nos transforma una señal cualquiera a otra en combinaciones de senoides. ¿Cuál es ese método?

Ese método es aplicar Fourier. Podemos aplicar Fourier a una función para obtenerla en combinaciones de senos y cosenos de distintas frecuencias. Fourier haría una cosa así:

 

Donde los coeficientes son la amplitud de la senoides y se definen del siguiente modo:

Este sistema, además, nos asegura que podemos hacer el error tan pequeño como deseemos (lo que significa que la serie es convergente), por lo que este parece el sistema óptimo.

Ahora sabemos que podemos usar Fourier para transformar una función cuadrada a senoidal, más bien, combinación de senoides de distintas frecuencias. Y también sabemos que hay un pequeño error.

¿Qué obtenemos al hacer Fourier sobre una función? Obtenemos, depende de los valores que cojamos, un equivalente con una función con tensión continua y distintos generadores de distinta frecuencia.

*La fuente con la misma frecuencia que la original se llama armónico fundamental.

¿Qué podemos hacer si solo queremos el armónico fundamental? Pues como ya hemos tratado otros días, podemos modelar un circuito con la característica que nos haga un pico de resonancia en dicha frecuencia, de manera que el resto no se tengan en cuenta.

Este sistema nos es muy útil a la hora de calcular ya que nos permite calcular potencias más fácilmente y de manera muy fiable.

Destacar, que podemos graficar los coeficientes de Fourier, amplitudes, y los argumentos para ver más fácilmente lo que hacemos. Además, puede ser útil para escoger la frecuencia que nos convenga amplificar.

Poco a poco vamos ampliando conocimientos de electrónica. A partir de hoy, ya podemos aplicar lo que hemos aprendido a funciones cuadradas.

Picos de resonancia

Ya llevamos unas clases hablando de las funciones de red y sus trazados de Bode. En la última introducimos de manera rápida y, por encima, los picos de resonancia.

El pico de resonancia se daba cuando ρ era más pequeña que 0,5 y la señal de salida se veía amplificada, dando así el pico. Si bien para valores más pequeños que 0,5 la señal ya empezaba a amplificarse, la amplificación era mucho más notable para valores de menores a 0,1.

Con un pico determinado, se nos puede ocurrir encontrar las frecuencias para las cuales la amplificación es 0,707 o, como lo conocemos, para el valor eficaz de la función.

Nos damos cuenta que estas frecuencias nos pueden dar un valor que nos diga cuan bueno es el pico, es decir, si la distancia entre las frecuencias es pequeña, el pico es mejor.

De esta idea sacamos la siguiente fórmula que cuantifica la calidad, el factor de calidad:

Donde Δf es la diferencia entre f2 y f1.

Saber la calidad del pico está bien, pero ¿Con que lo comparamos para saber si es bueno o malo?
Bien, decimos que si Q > 5 el pico es bueno.

Finalizando ya, podemos usar el trazado de Bode para encontrar la respuesta a una tensión de entrada determinada.

Incluso vimos, que se solía usar dB microVoltios para calcular la ganancia (comparar una tensión con microVoltios al hacer la fórmula del deciBélio), para operar en el circuit, de igual modo que haciamos con las potencias.

Más trazados de Bode y sus peculiaridades

Ya vimos en la clase anterior qué eran los trazados de Bode y como podíamos realizarlos. Hoy toca trabajar con ellos y explotarlos al máximo para obtener datos útiles.

Ya sabemos que estos trazados son una aproximación de la realidad, de la cual podemos medir el error máximo en la frecuencia de corte.

Durante la última sesión, vimos como podían interactuar los distintos componentes y afectar a los trazados de Bode. Por ejemplo, haciendo combinaciones de componentes podemos obtener los trazados que deseemos.

Hoy trabajaremos con el circuito con función de red determinada con un polinomio de segundo orden dependiendo de un valor ρ entre 0 e infinito.

La función de red, según el valor de ρ tiene unas raíces u otras. Concretamente encontramos 4 casos:

Para ρ > 1, las raíces son reales y negativas, lo que nos dará un trazado de Bode con un tramo de pendiente 0, en la primera raíz caerá el pendiente a -XdB y en la siguiente raíz el pendiente se verá multiplicado por dos, dando -2XdB.

Para ρ = 1, tendrá dos raices reales iguales, en la frecuencia de corte y obtendremos un trazado de Bode con un pendiente igual al -2XdB del caso anterior.

Para 0 < ρ < 1, tendremos dos raíces complejas conjugadas. Consideraremos que para valores de ρ más pequeños de 0,1 ρ es 0.

Para ρ = 0, se convierte en un oscilador y no tenemos régimen permanente, por lo que no nos interesa este caso.

Finalmente, volviendo a nuestro caso en particular, hacemos los trazados de Bode en los circuitos asimptóticos y observamos que se trata de un filtro paso-bajo, pero tiene la peculiaridad que para distintos valores de ρ tenemos una ganancia que difiere de la gráfica conforme se acerca a la frecuencia de corte y después de esta vuelve a cumplirse la gráfica.

A estos puntos en los que difiere se les llama pico de resonancia, para ρ < 0,5. Para valores de ρ más grandes, no conseguimos amplificaciones positivas, ni un pico de ganancia.

Lo que significa que a una frecuencia determinada el circuito puede responder de una forma totalmente distinta a la que lo haría a otra. Una cualidad a tener en cuenta en nuestros diseños.