Función de red y trazados de Bode

Volvemos a tratar con la función de red de nuevo, pero esta vez vamos a darle más usos que la última vez que la vimos. Hasta ahora habíamos visto que la función de red era la relación entre la tensión de salida y la de entrada, o cualquier relación de magnitud del circuito. Ahora indagaremos en el tema para buscar otro uso a este dato.

Como bien sabemos la función de red es una ecuación similar a esta:
H(s)=N(s)/D(s)
De estas dos funciones N(s) y D(s), podemos encontrar sus raíces,ya sean reales o complejas conjugadas. Según si se encuentran en el denominador o en el numerador, llamaremos a las raíces ceros o polos, respectivamente.

Si alguno de ellos coincide, podemos simplificar y encontraremos la función equivalente simplificada con la que trabajaremos.
Puntualmente, podemos encontrar una constante multiplicativa a la que denominaremos k. Por ejemplo, obtendremos la siguiente ecuación:
H(s) = k·(s-2)/(s+1)

Con esto ya podemos hacer los trazados de Bode. Pero ¿qué es un trazado de Bode? Bode desarrolló en su día, un sistema para simplificar la evolución de una gráfica de la amplificación o el argumento en función de la frecuencia. Bode se quedaba con los valores más significativos de la función para representarlas de manera simple y rápida.

Si bien a todos se nos ocurriría representarla mediante la función de red (en función de la frecuencia), Bode dijo que era mejor hacerlo mediante la siguiente expresión:
GdB = 20·log|H(jw)| mostrando la ganancia en deciBelios.
Esta fórmula es una extensión de la que ya hablamos al pasar una potencia a dB.

La gráfica que obtenemos tiene la curiosidad que es de escala lineal y se suele representar con pendiente unidad/década, donde una década es la diferencia entre las escalas, en múltiples de 10. También se puede representar en octavas, que es el número de décadas partido 0,3 (la relación décadas-octavas), pero no es tan habitual.

Con esta representación, obtenemos una gráfica definida por rectas. En un principio, para w<<wc con una recta monótona con pendiente 0 y después, para w>>wc, el pendiente dependerá de la función de red. (wc es la frecuencia de corte)

Por ejemplo, de un circuito paso bajo el trazado de Bode es una recta con amplificación 0 dB hasta wc cuando la amplificación empieza a decrecer con un pendiente de -20dB/década.

En cuanto al argumento, el trazado de Bode se hace mediante el circuito asimptótico, y en el mismo ejemplo de antes, obtenemos que el desfase pasa de 0 radianes a -π/2 radianes en wc.

Si bien es muy simple, tiene un pequeño error ya que se trata de una aproximación. Para el caso de la amplificación, encontramos el error máximo en la frecuencia de corte, y en 0 e infinito el error se corrige. En el caso del argumento, el error es mayor también en la frecuencia de corte y, después de esta, se corrige de nuevo.

Hasta aquí el reinicio del tema de funciones de red, un tema bastante intenso con el que continuaremos la próxima clase.

Transformadores y potencias máximas

En la última clase, volvimos  plantear el problema de las líneas de transmisión, que tenían una impedancia nominal determinada, y nuestro circuito puede no coincidir. Por ello usamos los transformadores, que nos permiten "engañar" al circuito para que crea que hay otra resistencia conectada, aun así, mantiene la potencia. Una característica más que útil.

Incluso descubrimos una nueva característica curiosa. Podemos usar un transformador para aislar un circuito de otro, es decir, que si tenemos una sobreintensidad en uno de ellos el transformador evitará que se transmita al otro. Este es muy usado en dispositivos móviles, etc.

Más tarde, planteamos el concepto de potencia máxima, la cual cuenta con dos teoremas, uno para generadores reales, con resistencia. Que mediante la derivada nos permite encontrar la R de entrada del circuito y encontrar la potencia máxima de esta. Cuando solo tenemos La fuente real (con resistencia) y R, la potencia máxima se da para R=Rg.

El otro teorema es una extensión del primero, que hace algo similar, pero ahora en lugar de una Rg tenemos un conjunto de impedancias, que simplificadas por Thévenin, nos dan una Zth. Nuevamente, obtenemos un circuito de una fuente y dos impedancias en serie. Fácilmente, podemos encontrar la impedancia para la cual la potencia es máxima.
En este caso, obtenemos que la impedancia Z, tenga potencia máxima, tiene que ser el conjugado de la Zth, por lo que Z = Zth*.

Así, ya hemos cerrado el tema de los transformadores. Y hemos aprendido a calcular algunos de los típicos casos que nos podemos encontrar con ellos.

Transformadores y ferritas

Como en la clase anterior, continuamos el hilo argumental de los transformadores. Si bien la clase anterior se basó en los usos de un transformador y su análisis, esta clase se basó en como fabricar un transformador.

Vimos que no había ninguna manera de obtener un Transformador Ideal, pero sí podemos obtener un transformador perfecto, que con impedancias elevadas actúa como un Transformador Ideal.

¿Cómo modelamos un Transformador perfecto? Es simple, con un cable de conductor enrollado sobre una ferrita (núcleo), con espiras que dependerán de la n que deseemos tener.

Aún así, ¿qué es en realidad una ferrita? Una ferrita es un componente formado por limaduras de hierro pegadas, de manera que no conducen la electricidad, por lo que permiten que el campo magnético se extienda a través de él. En concreto, tiene alta permeabilidad magnética, pero no resulta ser conductor, una propiedad curiosa.

Transformador ideal

En la clase anterior vimos que podiamos usar las líneas de transmisión para "acercar" un resistor a la fuente y se siga cumpliendo Kirchoff. Pero ese caso es muy limitado, dado que solo podíamos obtener unas líneas de transmisión con unas resistencias determinadas, comercialmente de 50 y 72 ohmios.

Con este problema introducimos el transformador. El transformador es un dispositivo que nos permite amplificar una señal, reduciendo la intensidad, o obtener la impedancia que deseémos a ojos de la entrada.

La característica que destaca de todo esto, es que la potencia de la entrada se mantiene a la salida, por lo que nos puede ir muy bien para resolver el problema que encontramos con las líneas de transmisión.

Pero, ¿cómo construimos un transformador? Muy sencillo, tan solo necesitamos un par de bobinas con distintos números de espiras, que harán la "n" de amplificación o reducción.

Por ejemplo, si n = 10, a la salida tendremos V/10, manteniendo la potencia siempre. Una característica más que curiosa. Pero cabe destacar como actua sobre las resistencias. En este caso, una resistencia de la salida actuaría como 100R a la entrada, lo que simplifica los cálculos, a parte de resolver por completo las limitaciones de las líneas de transmisión.

Soluciones a los circuitos a largas distancias

En los primeros días de clase ya vimos uno de los problemas que los circuitos nos daban, dependiendo de la frecuencia y la distancia, a más frecuencia menos distancia a la que se cumplen las leyes de Kirchoff y nuestras predicciones.

Empezamos la clase planteando el problema, en las condiciones de altas frecuencias, encontramos que entre los cables se crean campos magnéticos y actuan como condensadores, dando un valor distinto al inicio del cable que al final.

Durante el fin de semana, en los ejercicios entregables, vimos un circuito que podría resultar útil para resolver este problema:

 

En este circuito obtiniamos la misma potencia a la salida que a la entrada, a una pulsación determinada. ¿Qué significa esto? Que podemos encadenar las bobinas y condensadores para formar una cascada de componentes que nos dejarán la misma potencia al inicio del circuito que en la resistencia.

Si bien no, el circuito tiene que cumplir que la resistencia R tiene que ser la raíz de L/C. Y ha de funcionar a una pulsación más pequeña que 1/RC.

Ya hemos resuelto nuestro problema, pero aún falta una cuestión. Poner cada cierta distancia un módulo con el circuito descrito resultaría caro y costoso. Por lo que deberíamos idear otro sistema más simple con esa función.

El sistema planteado es unir dos planchas al estilo de un condensador, separadas por un aislante, por la que haremos pasar la corriente. Esto actuará de la misma manera que lo haría el circuito propuesto. Incluso descubrimos que tiene nombre: línea coaxial.

Tiene un punto que nos puede resultar molesto a los cálculos, a cambio de poder llevar la corriente a grandes distancias cumpliendo Kirchoff, tenemos un pequeño desfase en la señal, la mayoría de las veces dependiendo de la longitud del cable.

Descubrimos que estos cables, comercialmente, tenían una impedancia propia que debía coincidir con la resistencia del circuito, y podríamos obtener en una tienda una impedancia de 50 o 72 ohmios.

Parecía que habíamos resuelto completamente el problema pero, aún así, con este sistema, encontramos pérdidas dado a la resistencia del cable, pequeñas, pero notorias con largos cables. Esto causa una atenuación de la señal.

DeciBelios, una nueva unidad de medida

La última clase de circuitos continuamos con el tema de potencias. Así seguimos con el concepto de desfase de potencia. Demostramos que si la tensión o la intensidad, o ambas, tienen desfase en la potencia también encontramos un desfase. ¿Cómo podemos saber cual es? Bien, tras unos cuantos cálculos, llegamos a la conclusión que dicho desfase corresponde a la siguiente operación:

\alpha - \beta con \alpha desfase de la tensión y \beta desfase de la intensidad.

¿Qué significa este desfase que encontramos en la potencia? Este desfase se ve reflejado en una disminución de la potencia resistiva, a causa de elementos, como bobinas o condensadores, en el circuito. A fin de cuentas, la potencia se obtiene del cálculo con la parte real de la impedancia.

Continuemos con el cálculo de un circuito alimentado con dos fuentes de tensión. Si bien con circuitos alimentados con una única fuente no podíamos resolver por superposición, en este caso sí podemos resolver por este método. Realmente, este sistema simplifica mucho las operaciones.

Ahora que ya hemos visto como resolver algunos tipos de resistencias, veamos una unidad muy útil en nuestra carrera, el deciBelio.

¿Qué es el deciBelio? Es una unidad de medida que nos permite saber la relación entre la potencia de entrada y la de salida, en unas cantidades bastante más comunes o con las que es fácil de trabajar. Pondré algunos ejemplos de relaciones entre watts (unidad del SI de potencia) con decibelios.
Sabemos que 1000W son 30dB, 1W son 0dB, 0.5W son -3dB. De esto extraemos que para una amplificación menor que 1, obtenemos una cantidad de decibelios negativa.

Por otro lado, también tenemos otra unidad de medida basada en la anterior, que compara la potencia de un único elemento con 10^-3. Los dBm siguen una dinámica similar a la unidad vista antes, pero esta vez obtenemos la referencia con 1mW. Unos ejemplos podrían ser: 1W son 30dBm, 1mW son 0 dBm y 1pW son -90dBm.

A partir de estos datos, llegamos a la conclusión que los sistemas podían regirse por la función característica para dB:

Pl = Gdb +Pin, ambas potencias en dBm.

Este sistema puede resultar muy útil a la hora de resolver un tipo de problemas característicos, seguiremos investigando.

Potencias del circuito

Hoy ha tocado tema nuevo. Hemos empezado a ver cómo encontrar la potencia, incluso con tensiones y corrientes variantes en el tiempo.

¿Qué es la potencia? La potencia es la relación de energia al paso del tiempo, por lo que sus unidades son [Julios/segundo] = [Watts].

Empecemos con la idea general de potencia en corriente continuo. En CC, es básicamente, P=V·I y sus respectivas variaciones mediante la ley de ohm ( V=I·R).

Pero el problema de calcular la potencia se encuentra en las funciones variantes en el tiempo, ya que para cada valor de t tenemos una tensión o corriente específica

¿Cuál es la solución? La solución que hemos presentado ha sido encontrar la tensión en Corriente Continua equivalente, de manera que no dependiera del tiempo. Lo que llamamos voltaje medio.

¿Qué significa "equivalente"? En este caso concreto equivalente significa que definan la misma área. (Suena a integral sí).

Por ejemplo, partiendo de una v(t) podemos encontrar su V equivalente entre t1 y t2 buscando el área de la función v(t) con la integral e igualándola al área de V (En este caso sería: V(t2-t1)). Aislando V ya tendríamos la tensión V equivalente.

Esta solución nos vale siempre que la función sea positiva pero, normalmente, tenemos funciones sinusoidales, triangulares, cuadradas... que si hacemos la integral se nos anularían. También hay solución para ello. Encontrar el valor cuadrático medio, que consta en hacer la integral del cuadrado de la función v(t) y después hacer la raíz cuadrada para obtener el valor real de la tensión (de esta manera obtendríamos todas las áreas positivas y no se anularían).

Una vez se tiene el voltaje medio o el voltaje de valor cuadrático medio, calcular la potencia es trivial, sustituyendo directamente en la misma ecuación planteada anteriormente (P=V·I).

Todas estas fórmulas nos resultan útiles cuando trabajamos con resistores, una vez pasamos a condensadores e inductores la cosa se complica un poco. Podemos obtener potencias complejas que, a parte de la potencia resistiva, tendrá potencias activas o reactivas, causadas por los condensadores o bobinas.

*Destacar: Debemos tener en cuenta que al calcular potencias no podemos hacer superposición, si tenemos más de una fuente.

La próxima clase indagaremos un poco más en el mundo de las potencias, puede que me quede un poco más claro lo de las potencias complejas.